Соответствие, отображение
- Упорядоченной парой называют пару элементов (x,y) такую, что равенство двух пар (x,y) = (a,b) возможно тогда и только тогда, когда x = a и y = b.
- Прямым (декартовым) произведением двух множеств A и B называется множество A×B = {(x,y)| x О A, y О B }
- Три свойства прямого произведения.
- Соответствием между множествами A и B называют любое подмножество G их прямого
произведения.
- Областью определения соответствия
(или первой проекцией) называется множество
Dom G = пр1 G = { x| ( x,y ) О G }
- Областью значений соответствия (или второй проекцией) называется множество
ImG = пр2 G = { y| (x,y ) О G }.
- Сечением соответствия G по элементу x0 называется множество
G|x0 = { y (x0,y) О G }.
- Сечением соответствия G по элементу y0 называется множество
G|y0 = { y( x,y0 ) О G }.
- Соответствием, обратным соответствию G, называется множество
G - 1 = { ( y,x )| ( x,y ) О G }. |
|
- Пустым называется соответствие, которое не содержит ни одного элемента.
- Соответствие называется полным, если G = A×B.
- Матрицы, каждый элемент которых равен нулю или единице, называются
булевыми.
- Дизъюнкция Ъ и конъюнкция Щ.
1Ъ1 = 1 | 1Щ1 = 1 |
1Ъ0 = 1 | 1Щ0 = 0 |
0Ъ1 = 1 | 0Щ1 = 0 |
0Ъ0 = 0 | 0Щ0 = 0 |
- Пусть заданы три множества X, Y и Z и два соответствия - G 1 М X×Y и G 2 М Y×Z. Композицией соответствий G 1 и G 2 называется подмножество G 3 прямого
произведения X×Z: G 3 = G 2 °G 1 = { (x,z) | (x,y) О G 1 , (y,z) О G 2 }.
- Композиция G2 °G 1 № Ж, если
пересечение Dom G2 ЗImG 1 № Ж.
- Соответствие G М X×Y называется отображением, если область определения
соответствия совпадает с множеством X (т.е. Dom G = X или пр1 G = X).
- Отображение называется функциональным (или однозначным), если любое сечение G|x содержит
только один элемент.
- Шесть свойств отображений.
Если f: X® Y и A1 М A2 М X,
B1 М B2 М Y, то
1. f(A1) М f(A2),
2. f(A1ИA2)=f(A1)Иf(A2),
3. f(A1ЗA2) М f(A1)Зf(A2),
4. f-1(B1) М f-1(B2),
5. f-1(B1ИB2)=f-1(B1)Иf-1(B2),
6. f-1(B1ЗB2)=f-1(B1)Зf-1(B2),
- Отображение f:X ® Y называется сюръективным или отображением
на множество Y, если
Imf = Y. Другими словами, f сюръективно, если каждый элемент y О Y
имеет хотя бы один прообраз, т.е. " y О Y $ x О X:y = f( x ).
- Отображение f:X ® Y называется инъективным, если из условия x1 № x2 следует,
что f( x1 ) № f( x2 ), т.е. различные
элементы множества X должны иметь различные образы.
- Отображение называется
биективным если оно одновременно сюръективно и инъективно.
- Пусть заданы два отображения f:X ® Y и g:Y ® Z. Композицией отображений (сложным отображением, суперпозицией отображений) называют
отображение j:X ® Z, определяемое условием j( x) = g °f( x ) = g( f( x ) ),
"x О X.
- Композиция отображений ассоциативна, т.е. для заданных трех отображений f:X® Y, g:Y ® Z, h:X ® Z, справедливо равенство h °( g°f ) = ( h °g ) °f.
- Отображение g называется обратным к отображению f если одновременно выполняются
два условия g °f = eX и f °g = eY .
- Когда справедливо только одно из двух условий, например, g °f = eX ,
то g называют левым обратным отображением. Соответственно, если выполнено только второе
равенство f °g = eY , то g называют правым обратным отображением.
- Лемма. Если для композиции двух отображений выполняется равенство g °f = eX , то g является сюръекцией, а f - инъекцией.
- Теорема. Отображение f:X ® Y имеет обратное тогда и только тогда, когда
f является биективным отображением.
- Если f:X ® Y биективно, то обратное отображение f - 1:Y ® X также
является биекцией, причем ( f - 1 ) - 1 = f.
- Пусть f:X ® Y и g:Y ® Z биективные отображения. Тогда: композиция g°f биективных отображений биективна. ( g °f ) -1 = f - 1 °g - 1.
|