Кольцо, поле
- Пусть K есть непустое множество, на котором заданы две бинарные операции:
+ (сложение) и (умножение), удовлетворяющие следующим условиям:
- структура (K, + ) является абелевой (коммутативной) группой;
- структура (K,·) есть полугруппа;
- операции сложения и умножения связаны законом
дистрибутивности:(a + b) · c = a ·c + b ·c и c ·(a +b) = c ·a + c ·b для любых a,b,c О K.
Алгебраическая структура (K, + ,·),
подчиненная этим требованиям, называется кольцом. При этом
структура (K, + ) называется аддитивной группой кольца, а структура (K,·) называется его мультипликативной полугруппой.
- Кольцо (K, + ,·) называется полем, если выполняются следующие условия:
- структура (K, + ,0 ) - абелева группа; структура (K\{0},·, 1) -
коммутативная группа;
- выполняется закон дистрибутивности a ·(b + c) = a ·b + a ·c для любых a,b,c О K.
- Теорема. Кольцо классов вычетов ( Zm, + ,·)
тогда и только тогда является полем, когда m есть простое число.
|