11 Еще один способ вывода формулы для кривизны
Рассмотрим окружность, касающуюся исследуемой кривой так, что
в точке касания первая и вторая производная кривой совпадает с
теми же производными окружности.
Найдем центр такой окружности и ее радиус.
Дифференцируем по x
Еще раз дифференцируем
Находим из последнего уравнения
Из (1)
откуда
Уравнения (2) и (3) - уравнения эволюты.
Подставляя (2) и (3) в (*) найдем радиус кривизны
2 Радиус кривизны в полярных координатах
Запишем выражение радиуса кривизны для кривой, заданной параметрически
yў= |
Ч
y
|
/ |
Ч
x
|
, y"=( |
ЧЧ
y
|
|
Ч
x
|
- |
ЧЧ
x
|
|
Ч
y
|
)/ |
Ч
x
|
3
|
|
|
Представим полярные координаты как параметрическое задание кривой с параметром
j
Тогда
|
Ч
x
|
= |
Ч
r
|
cosj-rsinj, |
Ч
y
|
= |
Ч
r
|
sinj+rcosj |
|
|
ЧЧ
x
|
= |
ЧЧ
r
|
cosj-2 |
Ч
r
|
sinj-rcosj, |
ЧЧ
y
|
= |
ЧЧ
r
|
sinj+2 |
Ч
r
|
cosj-rsinj. |
|
Отсюда радиус кривизны имеет вид
Для спирали Архимеда r = kj получим
Для больших углов j имеем приближенное выражение
R = kj.
3 Эволюта эллипса
Эллипс - геометрическое место точек, от которых сумма расстояний
до двух фиксированных точек (полюсов) постоянна. Координаты
полюсов x=±c, y=0.
| Ц
|
y2+(x-c)2
|
+ | Ц
|
y2+(x+c)2
|
=2a |
|
Возводим в квадрат и упрощаем
Еще раз возводим в квадрат, вводим обозначение a2-c2=b2.
Получаем уравнение эллипса
Уравнение эллипса в параметрической форме
Радиус кривизны
R= |
(a2sin2t+b2cos2t)3/2
ab
|
. |
|
Найдем радиус кривизны в вершинах. При t=0 имеем R=b2/a, что
совпадает с фокальным параметром (x=c, y=b2/a). При
t=p/2получим R=a2/b. Легко показать, что центр кривизны
вершины t=0 лежит между фокусами:
Рис. 1
Рис. 2
Эволюта не выходит за пределы эллипса, если радиус кривизны
вершины t=p/2 меньше 2b:
4 Эволюта циклоиды
Уравнение циклоиды в параметрической форме
Уравнение эволюты
u=a(t+sint), v=-a(1-cost) |
|
Рис. 3
- циклоида (с точностью до замены переменных t ~ t-p,
u ~ u-ap, v ~ v-2a).
5 Переходная кривая
Для того, чтобы между прямой и соединенной с ней окружностью r(с
общей касательной в точке сопряжения) не было скачка кривизны,
вызывающего скачок центробежной силы, например, для
железнодорожного полотна, необходимо между прямой и окружностью
вставить переходный участок. Пусть этот участок имеет форму
кубической параболы y=ax3/3. Одна точка спряжения - между
прямой и кривой - в начале координат, в другой точке сопряжения
x0 кривизна переходной кривой и окружности совпадает
r=(1+yў2)3/2/y" = (1+a2x02)3/2/(2ax0) |
|
Отсюда можно
найти параметр a в зависимости от радиуса скругления r и места
сопряжения x0.
|