14 Функции нескольких переменных
- Полное приращение и полный дифференциал
Задана функция z=f(x,y).
Предположим, что z=f(x,y) в точке (x,y) имеет непрерывные частные производные.
Запишем
Dz=[f(x+Dx,y+Dy)-f(x,y+Dy)]+[f(x,y+Dy)-f(x,y)] |
|
Применим теорему Лагранжа
Так как частные производные непрерывны, то при
Dx® 0 и Dy® 0 имеем
|
¶x
|
® |
¶f(x,y)
¶x
|
, |
¶y
|
® |
¶f(x,y)
¶y
|
|
|
Выражение полного дифференциала имеет вид
dz= |
¶f(x,y)
¶x
|
dx+ |
¶f(x,y)
¶y
|
dy. |
|
- Производная сложной функции. Полная производная.
Dz= |
¶F
¶u
|
Dxu+ |
¶F
¶v
|
Dxv+g1Dxu+g2Dxv |
|
Делим на Dx
|
¶z
¶x
|
= |
¶F
¶u
|
|
¶u
¶x
|
+ |
¶F
¶v
|
|
¶v
¶x
|
|
|
Для функции w=F(z,u,v,s), где
z=z(x,y), u=u(x,y), v=v(x,y), s=s(x,y),
имеем
|
¶w
¶x
|
= |
¶w
¶z
|
|
¶z
¶x
|
+ |
¶w
¶u
|
|
¶u
¶x
|
+ |
¶w
¶v
|
|
¶v
¶x
|
+ |
¶w
¶s
|
|
¶s
¶x
|
, |
|
|
¶w
¶y
|
= |
¶w
¶z
|
|
¶z
¶y
|
+ |
¶w
¶u
|
|
¶u
¶y
|
+ |
¶w
¶v
|
|
¶v
¶y
|
+ |
¶w
¶s
|
|
¶s
¶y
|
. |
|
Если задана функция
z=F(x,u,v), u=u(x), v=v(x),
то полная производная имеет вид
|
dF
dx
|
= |
¶F
¶x
|
+ |
¶F
¶u
|
|
¶u
¶x
|
+ |
¶F
¶v
|
|
¶v
¶x
|
|
|
- Производная от функции, заданной неявно
F(x+Dx,y+Dy)-F(x,y)= |
¶F
¶x
|
Dx+ |
¶F
¶y
|
Dy+g1Dx+g2Dy, |
|
При Dx® 0 и Dy® 0
- Частные производные различных порядков
Производные второго порядка
Аналогично, производные третьего порядка
Теорема. Если функция z=f(x,y) и ее частные производные
fўx, fўy, f"xy и f"yx определены
и непрерывны в точке M(x,y) и в некоторой ее окрестности, то
- Градиент
Введем вектор (градиент)
|
®
grad
|
u={ |
¶u
¶x
|
, |
¶u
¶y
|
, |
¶u
¶z
|
} |
|
Производная по направлению
Производная по направлению имеет наибольшее значение, если направление
совпадает с направлением градиента.
|