15 Экстремумы функции двух переменных
- Теорема. Необходимые условия экстремума
Если функция z=f(x,y) достигает экстремума при.
x=x0, y=y0, то каждая частная производная первого порядка от
z или обращается в нуль или не существует (x=x0, y=y0 - критическая точка).
Теорема не является достаточной для определения максимума или минимума.
Пример.
Очевидно, производные равны 0 при x=0, y=0,
но экстремума нет. Такая особенность функции называется
седлом.
-
Введем обозначения для производных
|
¶2f
¶x2
|
=A, |
¶2f
¶xy
|
=B, |
¶2f
¶y2
|
=C. |
|
Теорема. Пусть в некоторой области, содержащей точку
M0(x0,y0), функция f(x,y)
имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно.
Если точка M0(x0,y0) является критической
то при x=x0, y=y0
- f(x,y) имеет максимум, если AC-B2 > 0, A < 0;
- f(x,y) имеет минимум, если AC-B2 > 0, A > 0;
- f(x,y) не имеет ни максимума, ни минимума, если AC-B2 < 0;
- требуется дополнительное исследование, если
AC-B2=0.
Доказательство.
По формуле Тейлора
f(x0+Dx,y0+Dy) = f(x0,y0)+ |
¶f(x0,y0)
¶x
|
Dx+ |
¶f(x0,y0)
¶y
|
Dy+ |
|
+ |
1
2
|
(ADx2+2BDxDy+CDy2)+a(Dr)3 |
|
где
а a стремится к 0 при Dr® 0.
Так как в критической точке
¶f/¶x=0, ¶f/¶y=0, то
Df= |
1
2
|
(ADx2+2BDxDy+CDy2)+a(Dr)3 |
| (1) |
Обозначим
Dx=Drcosj,
Dy=Drsinj.
Преобразуем (1)
Df= |
1
2
|
Dr2(Acos2j+2Bcosjsinj+Csin2j)+a(Dr)3 |
| (1) |
Df= |
1
2
|
Dr2 |
ж и
|
(Acosj+Bsinj)2+(AC-B2)sin2j
A
|
ц ш
|
+a(Dr)3 |
| (2) |
Доказательство теоремы следует из анализа (2).
- Пусть AC-B2 > 0. Тогда (Acosj+Bsinj)2+(AC-B2)sin2j > 0.
При A < 0 имеем Df < 0 (максимум), а при
A > 0 имеем Df > 0 (минимум).
- Пусть AC-B2 < 0, A > 0. Тогда
при sin2j = 0 из (2) следует
Df= |
1
2
|
Dr2(A+a(Dr)3) > 0, |
|
т.е. функция возрастает от критической точки на этом направлении.
При Acosj+Bsinj = 0 из (2) следует
Df= |
1
2
|
Dr2 |
ж и
|
(AC-B2)sin2j)
A
|
ц ш
|
+a(Dr)3 < 0, |
|
т.е. функция уменьшается от критической точки на этом направлении.
Таким образом в критической точке нет ни максимума ни минимума.
Аналогично исследуется случай A < 0 и случай
AC-B2 < 0, A=0.
|