3 Теоремы о пределах
- Бесконечно большие и бесконечно малые.
Функция f(x) стремится к бесконечности
при x стремящимся к a, если для
любого M > 0 можно указать такое значение d > 0,
что для всех x удовлетворяющих неравенству
|x-a| < d имеет место неравенство
|f(x)| > M.
limx® a=Ґ
- Функция ограниченная при x® a.
- Функция ограниченная при x® Ґ.
- Теорема. Если limx® a f(x)=b, то
функция f(x) ограниченная при x® a.
- Бесконечно малые и их свойства.
limx® a a(x)=0
Теорема. 1. Если f(x)=b+a, где
a - б.м. при x® a, то
limx® a f(x)=b и обратно,
если limx® a f(x)=b, то можно записать
f(x)=b+a(x).
Теорема. 2. Если
limx® a a(x)=0 и a(x) № 0, то
1/a® Ґ.
Теорема. 3. Сумма конечного числа б.м. есть б.м.
Теорема. 4. Произведение б.м. на ограниченную функцию есть б.м.
- Теоремы о пределах.
Теорема. 1. Предел суммы есть сумма пределов.
Теорема. 2. Предел произведения есть произведение пределов.
Теорема. 3. Предел частного есть частное пределов (если знаменатель не обращается в 0).
Теорема. 4. Если u(x) Ј z(x) Ј v(x),
и limx® a u(x)=limx® a v(x)=b,
то limx® a z(x)=b. ("Теорема о двух милиционерах").
- Первый замечательный предел.
0.5sin(x) < 0.5x < 0.5tg(x) |
|
- Второй замечательный предел.
Переменная величина
при n® Ґ имеет предел, заключенный между 2 и 3.
|