Непрерывность функций и производная
4 Непрерывность функций и производная
-
Непрерывность.
Функция y=f(x) называется непрерывной при
x=x0, если она определена в некоторой окрестности
x0 и если
limDx® 0Dy=0.
Пример. 1. Функция y=x2 непрерывна.
Пример. 2. Функция y=sin(x) непрерывна.
Теорема 1. Сумма функций непрерывных в точке x0 есть также непрерывная функция.
Теорема 2. Произведение функций непрерывных в точке x0 есть также непрерывная функция.
Теорема 3. Частное двух функций непрерывных в точке x0 есть также непрерывная функция, если знаменатель не обращается в 0.
Теорема 4. Если u=g(x) непрерывная функция в точке x0
и f(u)
непрерывная функция в точке u0=g(x0), то
f ( g(x)) есть также непрерывная функция.
Теорема 5. Всякая элементарная функция непрерывна
в каждой точке, в которой она определена.
Непрерывность на интервале. Непрерывность слева и справа.
Непрерывность на замкнутом отрезке.
Разрывы 1-го рода.
Свойства непрерывных функций.
Теорема 6. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке
a Ј x Ј b, то на этом отрезке найдется точка x1,
такая, что f(x1) і f(x) для любого x из этого отрезка,
и
найдется точка x2,
такая, что f(x2) Ј f(x) для любого x из этого отрезка.
Наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке.
Теорема 7. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке
[a,b] и на концах отрезка принимает значения разного знака,
то на этом отрезке найдется точка c,
такая, что f(c)=0.
Теорема 8. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке
[a,b] и на концах отрезка принимает значения A и B,
то на этом отрезке найдется точка c,
такая, что f(c)=C, если C заключено между A и B.
Сравнение бесконечно малых
Бесконечно малые одного порядка limx® 0[(b)/(a)]=A № 0.
b - бесконечно малая высшего порядка limx® 0[(b)/(a)]=0.
b - бесконечно малая k-го порядка
относительно a limx® 0[(b)/(ak)]=A № 0.
Эквивалентные бесконечно малые limx® 0[(b)/(a)]=1.
Теорема 9. Если a и b
эквивалентные бесконечно малые, то
b-a есть
бесконечно малая высшего порядка, чем a и b.
-
Производная.
Если существует предел
то он называется производной функции y=f(x) по аргументу x.
Операция дифференцирования.
Геометрическое значение производной.
Теорема 10. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.
Пример . Производная y=sin(x).
Производная суммы, произведения и частного.
Производная y=xn. Доказательство методом мат.индукции.