5 Производная
- Производная y=logax.
Dy=loga(x+Dx)-loga(x)=loga(1+Dx/x) |
|
|
Dy
Dx
|
= |
1
x
|
loga |
ж и
|
1+ |
Dx
x
|
ц ш
|
x/Dx
|
|
|
- Производная сложной функции.
Теорема. Если функция u=j(x) имеет в некоторой точке x
производную uўx=jў(x), а
функция y=F(u) имеет в соответствующей точке u
производную Fўu=Fў(u), то сложная функция y=F(j(x))
в указанной точке x также имеет производную
yўx=Fўu(u)jў(x).
- Производная y=tg(x), y=ctg(x),
- Производная неявной функции.
Пример y2+x2=1.
- Производная степенной функции при действительном показателе.
Производная сложной показательной функции.
y=uv,
yў=vuv-1uў+uvvўlnu.
- Производная обратной функции.
Замечание (без док.) Если возрастающая (убывающая) функция непрерывна на
некотором отрезке [a,b], и f(a)=A, f(b)=B, то
обратная функция определена и непрерывна на отрезке
[A,B].
Примеры. Обратные тригонометрические функции.
- Производная параметрически заданной функции.
Примеры.
- Окружность. x=acost, y=asint.
- Циклоида. x=a(t-sint), y=a(1-cost).
- Астроида. x=acos3 t, y=asin3 t.
|