6 Дифференциал и производные высших порядков
- Дифференциал
Дифференциал независимого переменного x совпадает
с его приращением dx=Dx.
Однако, Dy=dy+aDx.
Свойства
- d(u+v)=du+dv.
- d(uv)=vdu+udv.
- d(u/v)=(vdu-udv)/v2.
- Инвариантность формы дифференциала.
Пусть y=g(u), u=j(x) или y=g(j(x)).
Тогда
dy/dx=gўu(u)jў(x) и dy=gўu(u)jў(x)dx. Но
jў(x)dx=du, следовательно
dy=gў(u)du.
- Геометрическое значение дифференциала
- Производные различных порядков. Формула Лейбница.
y"=(yў)ў.
y(x)=u(x)v(x),
yў=uўv+vўu.
y"=u"v+2vўuў+v"u.
y"ў=u"ўv+3vўu"+3v"uў+v"ўu.
y(n)=(uv)(n)=u(n)v+nvўu(n-1)+ |
n(n-1)
2
|
v"u(n-2)+...+v(n)u. |
|
- Дифференциалы различных порядков.
- Производные различных порядков от неявных и параметрически заданных функций.
x=j(t), y=y(t).
|
d2y
dx2
|
= |
d
dx
|
|
|
= |
d
dt
|
|
|
|
dt
dx
|
= |
|
|
|
- Уравнение касательной и нормали.
y=g(x).
Касательная
Нормаль
|