Лекция 7. Теоремы о дифференцируемых функциях
- Теорема. Ролля.
Если функция g(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема во
всех внутренних точках этого отрезка и на концах обращается в нуль
g(a)=g(b)=0, то существует по крайней мере одна точка
a < c < b в которой производная gў обращается в нуль gў(c)=0.
Доказательство. Так как функция непрерывна на [a,b], то она имеет на этом отрезке наибольшее (M)
и наименьшее значение m. Пусть g(c) - наибольшее значение.
Отсюда
|
g(c+Dx) - g(c)
Dx
|
Ј 0, Dx > 0 |
|
|
g(c+Dx) - g(c)
Dx
|
і 0, Dx < 0 |
|
Переходим к пределу и получаем одновременно
gў(с) і 0 и gў(с) Ј 0, следовательно, gў(с)=0.
Пример функции, для которой не выполняется условие теоремы, поэтому производная внутри отрезка в 0 не обращается
- Теорема. Лагранжа.
Если функция g(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема во
всех внутренних точках этого отрезка,
то существует по крайней мере одна точка
a < c < b в которой выполняется равенство
Доказательство.
Применим теорему Ролля к функции
где
- Теорема. Коши.
Если функции g(x) и h(x) непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируемы
во всех внутренних точках этого отрезка,
причем hў(x) № 0 внутри отрезка [a,b],
то существует точка
a < c < b в которой выполняется равенство
|
g(b)-g(a)
h(b)-h(a)
|
= |
gў(c)
hў(c)
|
|
|
Доказательство.
Применим теорему Ролля к функции
где
Q=(g(b)-g(a))/(h(b)-h(a)) |
|
- Теорема. Лопиталя. Пусть функции g(x) и h(x) на некотором отрезке
[a,b] удовлетворяют условиям теоремы Kоши и обращаются в 0 в точке
x=a, т.е. g(a)=h(a)=0, тогда если существует предел отношения
gў(x)/hў(x) при x® a, то существует и
причем
|
lim
x® a
|
gў(x)/hў(x)= |
lim
x® a
|
g(x)/h(x). |
|
|