Вопросы к экзамену по высшей математике
(15.6.2010, Б303, 9.30, АиУ-3, Уи-4,5)
Интегралы
- Первообразная. Неопределенный интеграл. Определение.
- Таблица интегралов.
- Свойства неопределенных интегралов.
- Способы интегрирования. Замена переменных. Способы интегрирования
функций, содержащих квадратный трехчлен.
- Интегрирование по частям.
- Правильные и неправильные рациональные дроби. Интегралы от рациональных
дробей.
- Интегралы от иррациональных функций.
- Три подстановки Эйлера.
- Интегрирование дифференциального бинома.
- Интегралы от тригонометрических функций. Универсальная подстановка.
- Функции, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции.
Эллиптический интеграл. Интегральный синус, косинус, логарифм.
- Определенный интеграл. Существование. Нижняя и верхняя интегральные
суммы. Равномерная непрерывность функции.
- Шесть свойств определенного интеграла, включая теорему о среднем.
- Формула Ньютона-Лейбница.
- Несобственные интегралы. Сходимость и абсолютная сходимость. Интеграл
от разрывной функции.
- Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра.
- Приложение определенного интеграла. Площадь плоской фигуры в декартовой
и полярной системе координат.
- Длина дуги кривой, заданной параметрически.
- Длина дуги. Длина дуги в полярных координатах.
- Вычисление объем тела по параллельным сечениям.
- Вычисление объем тела вращения.
- Поверхность тела вращения.
- Центр тяжести и моменты инерции. Примеры (круг, дуга окружности).
- Двойной интеграл. Свойства. Правильная область. Вычисление с помощью
двукратного интеграла.
- Изменение пределов интегрирования в двойном интеграле. Вычисление
объема.
- Двойной интеграл в полярной системе координат. Функциональный определитель
Якоби. Пример применения.
- Вычисление площади поверхности и моментов инерции с помощью двойного
интеграла.
- Эллипс инерции. Неравенство Буняковского.
- Тройной интеграл и его вычисление.
- Криволинейный интеграл. Свойства.
- Формула Грина.
- Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
- Поверхностный интеграл. Формула Стокса.
- Элементы теории поля. Определение поля. Потенциал. Ротор. Условие
потенциальности. Связь с оператором Гамильтона.
- Формула Остроградского.
- Элементы теории поля. Дивергенция. Градиент. Оператор Лапласа. Гармонические
функции. Связь с оператором Гамильтона. Специальные поля.
Ряды
- Ряды. Частичные суммы. Отбрасывание нескольких членов ряда.
- Необходимый признак сходимости ряда.
- Достаточный признак расходимости ряда.
- Теоремы сравнения. Доказательство расходимости гармонического ряда.
- Признак Даламбера. Пример.
- Признак Коши. Пример.
- Интегральный признак. Пример.
- Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная сходимость. Условная
сходимость.
- Функциональные ряды. Область сходимости.
- Степенные ряды. Радиус сходимости.
- Нахождение суммы ряда интегрированием или дифференцированием.
Дискретная математика
- Множества, собственное подмножество. Объединение множеств, пересечение,
разность, симметрическая разность, абсолютное дополнением. Универсальное
множество. Свойства операций (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность,
идемпотентность).
- Свойства универсального и пустого множеств. Закон двойного дополнения.Законы
де Моргана. Парадокс Рассела. Булеан. Мощность множества. Мощность булеана.
- Прямое произведение. Упорядоченная пара. Три свойства прямого произведения.
Соответствие между множествами.
- Отношения унарные и бинарные. Граф отношения. Матрица отношения. Единичное
отношение. Полное отношение. Обратное отношение. Свойства отношений
(рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность,
асимметричность, транзитивность).
- Замыкание отношения. Рефлексивное замыкание. Транзитивное замыкание.
Теорема о виде транзитивного замыкания. Вид транзитивного рефлексивного
замыкания.
Графы
- Граф, ребро, вершина, дуги, ориентированные и неориентированные графы.
Кратные ребра, мультиграф, петли. Конечный граф. Пустой граф. Полный
граф. Граф двудольный. Полный двудольный граф.
- Матрица инцидентности. Список ребер. Матрица смежности.
- Маршрут. Эксцентриситет вершины. Радиус, диаметр, центр, периферия
графа.
- Маршрут циклический. Цепь. Путь. Контур. Простая цепь. Цикл. Простой
цикл.
- Дерево. Кодировка Прюфера. Двоичная и десятичная кодировки (для
3 и 4 гр.)
- Раскраски графа (вершинные, реберные, картографические). Правильные
раскраски. Хроматический полином и редукция по пустым и полным графам.
Ладейный полином (для 3 и 4 гр.).
- Элементы математической логики. СДНФ. Упрощение логических функций.
|