Дискретная математика. Программа курса 2013

Дискретная математика. Темы для подготовки к экзамену (C1212)

МЭИ(ТУ), 2013/14г

экзамен 17 янв. 2014
Кафедра теоретической механики и мехатроники

  1. Множество, подмножество, собственное подмножество. Объединение множеств, пересечение, разность, симметрическая разность, абсолютное дополнение. Универсальное множество. Свойства операций (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность, идемпотентность). Свойства универсального и пустого множеств. Закон двойного дополнения. Законы де Моргана. Парадокс Рассела.
  2. Булеан. Мощность множества. Мощность булеана Прямое произведение. Упорядоченная пара. Три свойства прямого произведения. Соответствие между множествами. Область определения соответствия. Первая проекция соответствия. Область значений соответствия. Вторая проекция. Сечение соответствия. Обратное соответствие. Пустое соответствие. Полное соответствие. Композиция соответствий. Условие существования композиции.
  3. Отображение. Отображение функциональное. Шесть свойств отображений. Сюръективное, инъективное, биективное отображение. Композиция отображений. Ассоциативность композиции отображений. Обратное отображение. Единичное отображение. Левое и правое обратное отображение. Лемма о единичной композиции двух отображений. Теорема о существовании обратного отображения.
  4. Отношения унарные и бинарные. Граф отношения. Матрица отношения. Единичное отношение. Полное отношение. Обратное отношение. Свойства отношений (рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, асимметричность, транзитивность). Композиция бинарных отношений. Условие транзитивности. Замыкание отношения. Рефлексивное замыкание. Транзитивное замыкание. Теорема о виде транзитивного замыкания. Вид транзитивного рефлексивного замыкания. Два алгоритма нахождения транзитивного замыкания. Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности. Фактор-множество. Разбиение. Отношение порядка. Предпорядок. Полный порядок. Частичный порядок. Строгий порядок. Диаграмма Хассе. Отношение Паретто. Алфавит. Лексикографический порядок.
  5. Бинарная операция на множестве. Ассоциативность, коммутативность бинарной операции. Единичный элемент. Единственность единичного элемента. Полугруппа. Моноид. Обратный элемент моноида. Группа. Четыре аксиомы, которым удовлетворяет группа. Мультипликативная и аддитивная группа. Абелева группа. Подгруппа. Собственная подгруппа. Таблица Кэли. Свойство столбцов (строк) таблицы Кэли. Симметрическая группа. Циклическая группа. Конечная и бесконечная группа. Сравнение по модулю m. Кольцо. Поле.
  6. Элементы математической логики. Конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, импликация, эквиваленция, сложение по модулю 2. Штрих Шеффера. Стрелка Пирса. Основные законы логики. Булевы функции. Совершенные дизъюнктивные нормальные формы. Сокращенная и минимальная ДНФ. Упрощение логических функций. Упрощение переключательных схем. Таблицы Квайна. Импликанта. Простая импликанта. Конституента единицы. Карты Карно. Полиномы Жегалкина.
  7. Решение однородных и неоднородных рекуррентных уравнений.
  8. Ладейные полиномы. Правило суммирования. Правило умножения.
  9. Инверсии. Таблица инверсии. Восстановление перестановок по инверсии. Подстановки. Разложение подстановок на циклы.
  10. Функция Эйлера. НОД, алгоритм Евклида.
  11. Формула включений и исключений.
  12. Решение сравнений. Китайская теорема об остатках.
  13. Лемма о рукопожатиях, два следствия. Число ребер в полном графе.
  14. Матрица смежности, матрица Кирхгофа и ее свойства, список ребер, матрица инцидентности. Связность. Сильная связность орграфа.
  15. Теорема о двухсторонней оценке числа ребер в обыкновенном графе.
  16. Изоморфные графы. Однородные графы. Характеристический полином графа. Оценка корней характеристического полинома регулярного графа.
  17. Число вершинной и реберной связности графа. Двухсторонняя оценка числа реберной связности.
  18. Разрезающее множество, разрез, мост. Теорема о необходимом и достаточном условии существования мостов.
  19. Эйлеровы графы. Эйлеров цикл и эйлерова цепь. Теоремы о эйлеровых графах.
  20. Дополнение графа. Ориентируемый граф. Теорема об ориентируемых графах.
  21. Центр графа.
  22. Ранг-полином. Ранг графа. Коранг. Хорды. фундаментальные циклы.
  23. Теорема о числе маршрутов определенной длины в графе.
  24. Теорема Кенига о двудольном графе.
  25. Теорема о разбиении графа на цепи.
  26. Теорема о числе ребер в обыкновенном связном графе. Теорема о числе ребер в произвольном графе.
  27. Теорема об алгебраических дополнениях в матрице Кирхгофа. Число остовов.
  28. Кодировка дерева. Двоичная кодировка.
  29. Число остовов в полном графе (с доказательством) и теорема Кэли.
  30. Дерево. Листья. Лес. Ярус. Ствол. Высота. Код Прюфера.Код Гапта.
  31. Сеть. Алгоритм Форда-Фалкерсона.
  32. Двудольный граф. Покрытие. Максимальное и наибольшее покрытие. Перманент.
  33. Задача о назначениях. Венгерский алгоритм.
  34. Кратчайший путь в орграфе. Алгоритм Дейкстры.
  35. Остов минимального веса. Два алгоритма решения задачи.
  36. Планарность. Плоский граф. Жорданова кривая. Подразбиение. Гомеоморфность. Теорема Понтрягина-Куратовского.
  37. Теорема Эйлера о плоском графе. Максимально плоский граф. Теорема о связи триангуляции с планарностью. Размер максимального планарного графа.
  38. Раскраски. Хроматический индекс и хроматическое число. Оценки. Теорема о редукции (с доказательством). Числа Стирлинга. Теоремы Визинга и Кенига. Хроматическое число дерева.
  39. Стягивание. Число Хардвигера.
  40. Центроид. Теорема Жордана о центре и центроиде.
  41. Основание графа. Сильно связный граф. Евклидов граф.
  42. Гамильтоновы и полугамильтоновы графы. Теоремы Хватала, Дирака, Оре, Гуйя-Ури. Евклидовы графы. Алгебраический алгоритм нахождения гамильтоновых циклов. Задача коммивояжера.
  43. Доминирующее множество. Число доминирования. Внутренняя и внешняя устойчивость графа. Полностью зависимое и полностью независимое множество вершин. Число вершинной независимости. Реберная независимость. Теорема о связи независимости и доминирования. Клики.
  44. Реберный граф. Число ребер (с доказательством).
  45. Триангуляция.
  46. Алгоритм нахождения наибольшего паросочетания в двудольном графе.