АНАЛИЗ ВЫРОЖДЕННОГО СЛУЧАЯ КОЛЕБАНИЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Кирсанов М.Н., Федорова М.И.

Московский Энергетический Институт (Технический Университет). Москва. Россия.

Рассмотрим задачу о качении цилиндра радиуса r по бруску. Брусок скользит по гладкой горизонтальной поверхности (рис.1). Качение происходит без проскальзывания. Масса бруска  равна , масса точки, расположенной на ободе цилиндра, равна , цилиндра — . К цилиндру приложен момент M.

Рис.1

За обобщенные координаты примем смещение бруска и угол поворота цилиндра .  Для начала, решим задачу кинематики. Найдем выражения скорости точки с массой  и оси цилиндра B через выбранные обобщенные скорости  и .  Имеем . Кинетическая энергия системы имеет вид , где  – момент инерции однородного цилиндра. Потенциальная энергия равна . Функция Лагранжа:

Обобщенная координата  не входит в выражение для  и является циклической. Найдем обобщенный импульс , соответствующий циклической координате . Имеем циклический интеграл

В силу уравнения Лагранжа, . Выразим отсюда циклическую скорость:

.

Запишем функцию Рауса,  После подстановки сюда выражения для  и  некоторых преобразований получим

Функция Рауса удовлетворяет уравнению

или    

           (1)

Из этого уравнения можно найти . Циклическая координата определяется из интеграла

где C — постоянная интегрирования. Константы  и  определяют из начальных условий для . Заметим, что уравнения Лагранжа 2-го рода дают связанную систему уравнений:

        Решение системы находим с помощью математического пакета Maple. Обнаружена интересная особенность решения. С уменьшением массы , решение ведет себя трудно предсказуемым образом. Наблюдается необъяснимый на первый взгляд скачкообразный  рост угла . Объяснение этого факта дает аналитическое решение. Найдем решение уравнения Рауса в рядах. Зададим начальный угол . Получим решение

.

Масса  содержится в знаменателе, что и объясняет замеченный эффект. Увеличение числа членов ряда не меняет этой особенности. Рассматривая малые собственные колебания системы около положения  и линеаризируя  (1), получим  частоту  собственных колебаний системы . С увеличением массы бруска частота колебаний падает с  до .

       Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 09-01-00756-а, 09-08-01184-а).