Прямолинейный стержень длиной l, закрепленный на левом конце
в упругой опоре, а на правом в
подвижном шарнире, сжимается продольной силой P.
Задана относительная жесткость EJ/(c2l)=1,
где c2 - жесткость пружины Mупр=c2Dj.
Определить коэффициент m приведения длины стержня.
Решение
1. Решение дифференциального уравнения продольного изгиба
где k2=P/EJ, ищем в виде
где x - продольная координата с началом на левом конце стержня.
2. Выписываем краевые условия на левом конце. Прогиб стержня на шарнирной опоре
с упругим закреплением отсутствует, а угол поворота пропорционален моменту:
На другом конце (x=l) - шарнир идеальный. В нем равны нулю и прогиб и момент
3. Для получения производных, входящих в краевые условия, дифференцируем
(1). Получаем
|
wў=-Akcoskx -Bksinkx + C, |
|
|
|
|
| (4) |
4. Для определения констант A, B, C, D с учетом (1),
(2), (3), (4), получаем следующую однородную систему
|
|
|
Asinkl +Bcoskl + Cl+ D=0, |
|
|
|
|
| (5) |
5. Приравниваем нулю определитель системы. Получаем условие для ненулевого решения, т.е.
условие потери устойчивости стержня
где t=kl, b=EJ/(cl).
6. Решаем численно уравнение (6) при b=1.
Минимальный положительный корень уравнения
t=3.406. Коэффициент приведения длины равен
m = p/t=0.922.
|