Задачи аналитической геометрии в пространстве
Задача.
Найти расстояние от точки A(41,4,1) до плоскости
Решение.
Нормаль к плоскости есть вектор `n=(1,4,8).
Возьмем произвольную точку B на плоскости x=0, y=0, z=-2.
Вектор B®A имеет вид
Найдем скалярное произведение
|
|
®
B
|
A· |
-
n
|
=41·1+4·4+3·8 = 41+16+24=81. |
|
Очевидно,
Нас интересует расстояние
|
BAcosa = 81/ |
Ц
|
12+42+82
|
=81/9=9. |
|
Ответ h=9.
Другой способ - найти проекцию точки A на плоскость, а затем расстояние между A и ее проекцией.
Для этого надо провести через A прямую, перпендикулярную плоскости
|
|
x-41
1
|
= |
y-4
4
|
= |
z-1
8
|
=t. |
|
Определяем точку пересечения прямой с плоскостью
Подставляем эти выражения в уравнение плоскости
|
t+41+4(4t+4)+8(8t+1)+16=0 |
|
Находим t=-1. Отсюда получаем координаты проекции
Расстояние между точками
|
|
Ц
|
(41-40)2+(4-0)2+(1+7)2
|
= |
Ц
|
1+16+64
|
= |
Ц
|
81
|
=9. |
|
И, наконец, третий способ. Открыть "Аналитическую геометрию" П.С. Моденова на с.193 и посмотреть ответ.
Расстояние от точки x0,y0,z0 до плоскости
Ax+By+Cz+D=0 равно |Ax0+By0+Cz0+D|/Ц{A2+B2+C2}. Числитель этого выражения можно было угадать и не решая задачи.
Если точка лежит на плоскости, то она удовлетворяет ее уравнению, и расстояние, очевидно, 0.
Эта формула позволяет также решить задачу о биссектриальной плоскости.
Пусть даны две плоскости
A1x+B1y+C1z+D1=0
и
A2x+B2y+C2z+D2=0. Если точка лежит на плоскости, биссектриальной этим плоскостям, то ее расстояние
до них одинаково.
Отсюда уравнение биссектриальной плоскости
|
|
|A1x+B1y+C1z+D1|
|
= |
|A2x+B2y+C2z+D2|
|
. |
|
|