Теорема 1.3. Отображение имеет обратное тогда
и только тогда, когда является взаимно-однозначным
(биективным) отображением.
Лемма 1.1. Если для композиции двух отображений
выполняется равенство g °f = eX , то g является
сюръекцией, а f - инъекцией.
Доказательство леммы.
> Сначала докажем, что отображение g:Y ® X сюръективно. Для этого, в
соответствии с определением сюръективного отображения, необходимо показать,
что для любого элемента x О X найдется элемент y О Y такой, что x = g( y ). Запишем цепочку равенств:
|
x = eX ( x ) = g °f( x ) = g( f( x) ). |
| (1) |
Поскольку f является отображением, выражение f( x )
определено для любого элементаx О X, и если мы введем в (1.2)
обозначение y = f( x ), то получим:
|
" x $ y = f( x ): x = g( y), |
|
т.е. g - сюръективно.
Покажем, что отображение f:X ® Y инъективно. Пусть x1 ,x2 О X и
f( x1 ) = f( x2 ). Тогда
|
x1 = eX ( x1 ) = g °f( x1 ) = g(f( x1 ) ) = g( f( x2 ) ) = g °f( x2 ) = eX ( x2 ) = x2 . |
|
В результате мы получили, что из условия f( x1 ) = f(x2 ) следует, равенство x1 = x2 , поэтому f инъективно.<
Доказательство теоремы 1.3.
> Предположим сначала, что отображение f:X ® Y имеет обратное f -1:Y ® X. Тогда из равенства f - 1 °f = eX , согласно лемме,
следует, что f инъективно, а равенство f °f - 1 = eY означает,
что f сюръективно, поэтому f является биекцией.
Обратно, предположим, что отображение f биективно. Тогда для любого
элемента y О Y найдется единственный элемент x такой, что f( x) = y. Определим теперь отображение g( y ) соотношением:
где x удовлетворяет равенству f( x ) = y.
Покажем, что отображение g( y ) функционально. Предположим противное: пусть
g( y ) определено равенством (1.3), но не является
функциональным, т.е существует элемент y0 О Y, имеющий два различных
образа:
|
g( y0 ) = x1 и g( y0 ) = x2 ,причем, x1 № x2 . |
|
Тогда, в силу определения g( y ), имеем: f( x1 ) = y0 = f( x2 ), и, следовательно, отображение f
не является инъективным (последнее, очевидно, противоречит предположению о
биективности f).
Наконец, докажем, что отображение g является обратным к
отображению f. Для этого достаточно показать
справедливость двух равенств: g °f = eX и f °g = eY . В самом деле: " x О X, g °f( x ) = g( f( x ) ) = g( y ) = x, и значит g °f = eX . Точно
так же " y О Y, f °g( y ) = f( g( y ) ) = f( x ) = y, поэтому f °g = eY .
|
