Вопросы к экзамену по высшей математике
Анализ
-
Числа. Необходимость существования иррациональных чисел.
Доказать,
что Ц2 нельзя представить в виде рациональной дроби.
- Свойства модуля. Метод математической индукции.
- Три вида алгебраических функций.
- Полярная система координат. Спираль Архимеда. Спираль логарифмическая.
Спираль гиперболическая. Кардиоида. Лемниската.
- Переменная величина. Предел переменной величины. Числовая
последовательность.
Предел числовой последовательности.
- Основные теоремы о пределах числовой последовательности. Бесконечно
большие и бесконечно малые последовательности.
- Теорема о пределе монотонной ограниченной числовой последовательности.
- Определение предела функции в точке. Основные теоремы о пределе функции в точке.
- Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых функций, эквивалентность бесконечно малых функций.
Вычисление пределов с использованием эквивалентных бесконечно малых функций.
- Первый замечательный предел.
- Второй замечательный предел. Число e.
- Непрерывность функции в точке. Непрерывность элементарных функций.
- Функции, непрерывные на отрезке. Основные
теоремы
- Производная.
Непрерывность
и дифференцируемость. Правила дифференцирования функций.
-
Производные сложной, обратной, параметрически заданной и неявной функций.
- Гиперболические функции y=sh(x), y=ch(x). Определение.
Графики y=sh(x), y=ch(x).
Обратные гиперболические функции.
- Уравнение циклоиды.
- Производная сложно степенной функции. Пример. Дифференциал.
- Формула Лейбница.
Формула Лейбница для производной n-го порядка от произведения двух функций.
- Нормаль. Уравнение нормали. Касательная. Уравнение касательной.
- Теорема Ролля.
- Теорема Лагранжа.
- Теорема Коши.
- Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
- Дифференциал функции первого порядка. Инвариантность формы первого дифференциала.
- Асимптоты графика функции.
-
Формула Тейлора. Остаточный член в форме
Лагранжа.
- Формула Тейлора для основных элементарных функций.
- Вторая производная функции, заданной параметрически.
- Выпуклость, вогнутость, точки перегиба графика функции. Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке.
- Необходимое и достаточное условия существования локального экстремума функции одной переменной.
- Касательная к графику функции.
-
Кривизна,
радиус кривизны кривой. Кривизна параметрически заданной кривой.
- Кривизна, радиус кривизны кривой. Переходная кривая.
- Эволюта и два ее свойства.
- Эвольвента. Эвольвента окружности.
- Комплексные числа. Геометрический образ комплексного числа. Модуль и аргумент числа. Сопряженные числа. Арифметические действия. Возведение чисел в степень и извлечение корней.
- Тригонометрическая и экспоненциальная форма комплексных чисел. Модуль и аргумент числа. Формула Л. Эйлера. Формула А. Муавра.
- Функции многих переменных. Определение. Частное и полное приращение функции.
- Предел функции многих переменных. Непрерывность функции.
- Частные производные. Дифференциал первого порядка.
- Частные производные сложной функции. Производная по направлению. Градиент.
- Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
- Максимум и минимум функции нескольких переменных. Необходимые условия экстремума. Критические точки. Минимакс.
Алгебра, геометрия
- Мaтрицы. Действия над матрицами. Матричная форма записи линейных уравнений.
- Определитель. Свойства определителей.
- Правило Крамера решения системы линейных уравнений.
- Обратная матрица. Условие существования. Решение системы уравнений методом обратной матрицы.
- Теорема Кронекера-Капелли. Всегда ли совместна однородная система?
Когда однородная система линейных уравнений имеет единственное решение?
Когда однородная система линейных уравнений имеет нетривиальное решение?
- Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.
- Скалярное и векторное произведение. Норма вектора. Угол между векторами.
- Площадь треугольника и объем тетраэдра.
- Уравнение прямой в плоскости. (5 вариантов).
- Уравнение прямой и плоскости в пространстве.
- Решение геометрических задач с использованием свойств скалярного и векторного произведения (угол между плоскостями, расстояние между прямыми и т.п.).
- Эллипс. Определение. Свойства. Построение. Директриса, фокальный параметр. Эксцентриситет. Расстояние от точки эллипса до фокусов.
- Эллипс. Построение эллипса с использованием его параметрического представления. Максимальная и минимальная кривизна эллипса. Соотношение размеров эллипса и его эволюты.
- Оптическое свойство эллипса.
- Гипербола. Определение. Свойства. Построение. Параметрические уравнения гиперболы. Директриса, фокальный параметр. Эксцентриситет. Расстояние от точки эллипса до фокусов. Асимптоты.
- Парабола. Определение и уравнение параболы.
- Уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах(4 и 8 гр.)
- Линейный оператор. Матрица оператора. Определение собственных значений и собственных векторов.
- Ранг, ядро, образ и дефект оператора. (4 и 8 гр.)
- Приведение кривых 2-го порядка к каноническому виду. (4 гр)
|