Проблема определяющих соотношений в широком понимании - связь напряжений и деформаций и критерии перехода, являясь узловой в механике сплошной среды, вступает в новую фазу. В современной механике в меру адекватности модели среды наряду с хорошей аппроксимацией данных эксперимента уже закладываются жесткие требования физико-математической непротиворечивости. Отсутствие должного внимания к таким требованиям нередко приводило к досадным просчетам, таким как нарушения ковариантности, независимости от системы отсчета, законов сохранения и т. д. С развитием наглядных форм представления процессов, руководящей иногда оказывалась геометрическая интуиция, не всегда адекватная физической сути явления. Старшее поколение механиков еще застало времена, когда из-за такого невнимания на глазах "рассыпались" взлелеянные долгим трудом теории.

Но уже в то не столь отдаленное время были предусмотрительные люди, которые, занимаясь, казалось, абстрактным вопросом - мерой влияния общих физико-математических требований на форму определяющих соотношений ряда сложных сред, сделали важное дело. Обнаружилось, что такие весьма неконкретные требования, как термодинамическая согласованность, ограниченность потоков энергии, затухающая память, слабая мгновенная реакция и т. д., накладывают довольно сильные ограничения на форму определяющих соотношений. Более того, выявилось, что и сам базовый макроэксперимент - связующее звено континуальной механики и реальных тел - в силу своей ограниченной разрешающей способности добавляет сюда свои специфические требования.

Соответствующие разработки дали наиболее весомые результаты в прочности и пластичности, и именно эти проблемы составляют основу излагаемого ниже материала. По существу, это элементы теории определяющих соотношений - раздела, слабо представленного в монографической и учебной отечественной литературе.

Представленный здесь материал отвечает читаемому на механико-математическом факультете МГУ спецкурсу для студентов IV-V курсов. Для понимания содержания от читателя требуется знание начал тензорной алгебры и некоторых сведений из теории функций комплексного переменного.

Автор выражает глубокую благодарность М. А. Гамрат-Курэк за помощь при оформлении рукописи.



Глава I. УПРУГОСТЬ

Простейшим свойством, которым может быть наделено твердое деформируемое тело, является упругость - способность тела возвращать свою форму и размеры при снятии действующих на него сил. Все реальные тела в той или иной степени этим свойством обладают, в связи с чем всякое изучение деформативности начинается с более или менее подробного изложения модели упругого тела. Являясь первоосновой теоретического освоения механики деформируемого твердого тела, эта модель имеет большое практическое значение, так как свойства, ею предписываемые, представляются идеалом, к которому стремится проектировщик при создании долговременных сооружений и машин.

Имеется и другая причина широкого распространения модели упругого тела. Даже если оказывается, что для описания механических свойств реального тела модели упругости недостаточно и приходится вводить более сложную модель, в большинстве случаев эффективное решение краевых и начальных задач строится сведением их тем или иным способом к задачам упругости.

Естественно, что в связи с этим теория упругости является наиболее разработанной областью механики деформируемого тела, но и в ней не видно конца, поскольку время ставит новые проблемы, для решения которых приходится изобретать все новые методы решения.

Изложенный ниже материал, посвященный определяющим соотношениям упругости, не претендует на широту охвата проблемы, а содержит попытку высвечивания отдельных специфических вопросов, недостаточно освещенных, или слишком заформализованных, или просто отсутствующих в имеющейся литературе, - вопросов происхождения и возможностей соотношений упругости и в связи с этим стратегии макроэксперимента.

Материал твердого тела называется изотропным, если вырезанные из куска такого материала образцы одинаковой формы и размера в отношении механических свойств одинаковы вне зависимости от ориентации произведенной вырезки. Таким материалом является, например, поликристаллическое тело с равновероятной ориентацией кристаллов. Естественно, что строение эталонного образца в виде, например, призматического стержня будет вполне симметричным и при испытании его на растяжение- сжатие возникнут лишь продольная деформация e₁₁=Dl₁/l₁ .....